Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.
研究：

⑴三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.
⑵三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由.
⑶若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

Answer 1

① PD=PE  ② 1     ③  ME=3MD

解析试题分析：解：（1）证明：连接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，∴PD=PE．
（2）分三种情况讨论如下：
①当PE=PB，点C与点E重合，即CE=0．
②当PE=BE时，CE=1．
③当BE=PB时
若点E在线段CB上时，CE=2-
若点E在CB延长线上时CE=2+
（3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC．
∵∠C=90°，∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．
∵
而HB=MH，∴
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，即
考点：相似三角形及全等三角形判定性质
点评：本题难度较大，主要考查学生对相似三角形和全等三角形判定与性质知识点掌握。为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想，灵活运用到考试中去。