Question

9．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG=122.5°；④BC+FG=$\sqrt{2}$
其中正确的结论是①②④（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据正方形及旋转的性质，可得出△HAE和△BGE均为直角边为$\sqrt{2}$-1的等腰直角三角形，即AE=GE，在△AED和△GED中由三条边都相等，可利用全等三角形的判定定理（SSS）证出△AED≌△GED（②正确），根据全等三角形的性质可得出∠AED=∠GED=67.5°，在△AEF中利用三角形内角和定理可得出∠AFE=67.5°=∠AEF，从而得出AF=AE，结合AF⊥BD、EG⊥BD及AE=GE可得出四边形AEGF为菱形（①正确）；由邻补角互补结合∠EFG的度数可求出∠DFG=112.5°（③不正确）；根据菱形的性质可得出FG=EG=$\sqrt{2}$-1，进而可得出BC+FG=$\sqrt{2}$（④正确）．综上即可得出结论．（对于填空题来说，结合图形及正方形的性质可直接得出正确的结论为①②④）

解答 解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，BD=$\sqrt{2}$，AD=CD=1．
由旋转的性质可知：∠HGD=BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，
∴HA=BG=$\sqrt{2}$-1，∠H=∠EBG=45°，∠HAE=∠BGE=90°，
∴△HAE和△BGE均为直角边为$\sqrt{2}$-1的等腰直角三角形，
∴AE=GE．
在△AED和△GED中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=GE}\\{AD=GD=1}\\{ED=ED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GED（SSS）（②正确），
∴∠AED=∠GED=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEG）=67.5°，
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=180°-45°-67.5°=67.5°=∠AEF，
∴AE=AF．
∵AE=GE，AF⊥BD，EG⊥BD，
∴AF=GE且AF∥GE，
∴四边形AEGF为平行四边形．
∵AE=GE，
∴平行四边形AEGF是菱形（①正确）．
∵四边形AEGF是菱形，
∴∠EFG=∠GEF=67.5°，FG=EG=$\sqrt{2}$-1，
∴∠DFG=180°-∠DFG=112.5°（③不正确），BC+FG=1+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$（④正确）．
综上所述：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定及性质、正方形的性质以及邻补角，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．