Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，过A、B、C 作⊙P．
（1）求b、c的值；
（2）求证：线段AB是⊙P的直径；
（3）连接AC，AD，在坐标平面内是否存在点Q，使得△CDA∽△CPQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线的系数b，c；
（2）先求出点C（0，2），再根据A（4，0）、B（-1，0），求出AC²，BC²，AB²，用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形即可；
（3）先求出线段AC，AD，CD，CP，根据三角形相似得到比例式，求出CQ，再判断出点Q在CB的延长线上，即可确定出一个点Q的坐标，再利用对称得出另一个点Q的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×16×4b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×1-b+c×=×0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
（2）由（1）可知抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，C（0，2），
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴BC²=OB²+OC²=1+4=5，AC²=OA²+OC²=16+4=20，AB²=25，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴线段AB是⊙P的直径；
（3）如图，由（1）可知抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∵A（4，0），C（0，2），
∴AC=2$\sqrt{5}$，AD=$\frac{5\sqrt{41}}{8}$，CD=$\frac{15}{8}$，
∵P（$\frac{3}{2}$，0），
∴CP=$\frac{5}{2}$，
∵△CDA∽△CPQ，
∴$\frac{CD}{CP}=\frac{AD}{PQ}=\frac{AC}{CQ}$
∴$\frac{\frac{15}{8}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{5\sqrt{41}}{8}}{PQ}$=$\frac{2\sqrt{5}}{CQ}$，
∴PQ=$\frac{5\sqrt{41}}{6}$，CQ=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∵C（0，2），P（$\frac{3}{2}$，0），
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2，
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∴直线CD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+2，
∴CP⊥CD于C，
由（2）知，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠PCB，
∴点Q在射线CB上，
过点C作射线CB，
∵B（-1，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y=2x+2
设Q（m，2m+2）（m＜0），
∴CQ=$\sqrt{{m}^{2}+（2m+2-2）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∴m=$\frac{8}{3}$（舍）或m=-$\frac{8}{3}$，
∴2m+2=-$\frac{10}{3}$，
∴Q（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{3}$），
过点Q作QQ'⊥CP，
∵直线CP的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2①，
∴直线QQ'的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{4}{3}$②，
联立①②解得，x=$\frac{8}{5}$，y=-$\frac{2}{15}$，
∴Q'（$\frac{88}{15}$，$\frac{46}{15}$）．
即：满足条件的点Q的坐标为Q（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{3}$）或（$\frac{88}{15}$，$\frac{46}{15}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的判定，相似三角形的性质和判定，方程组的应用，勾股定理的逆定理的运用，解本题的关键是勾股定理逆定理的运用．