Question

6．某商品的进价为每件40元，销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看做一次函数：y=-3x+420．
（1）设每月的销售利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每个月可获得最大利润？
（2）如果要想每月的销售利润为6300元，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据规定该商品的利润率不能超过150%，如果要想每月的销售利润不低于6300元，那么该商品每月的成本最少需要多少元？

Answer 1

分析 （1）根据“每月销售利润=单件利润×月销售量”列出函数关系式，配方成顶点式，可知其最大值；
（2）根据每月销售利润为6300元，即（1）中W=6300，列出方程，解方程可得；
（3）根据商品利润率不超过150%和每月销售利润不低于6300元确定x的范围，在x允许的范围内求出销售量y的最小值，计算可得每月成本最小值．

解答 解：（1）根据题意，得：
W=（x-40）（-3x+420）
=-3x²+540x-16800
=-3（x-90）²+7500
∵-3＜0，
∴当x=90时，W_最大值=7500，
答：当销售单价定为90元时，每个月可获得最大利润，最大利润为7500元．
（2）若要想每月的销售利润为6300元，则-3x²+540x-16800=6300，
解得：x=110或x=70，
答：如果要想每月的销售利润为6300元，那么销售单价应定为110元或70元．
（3）由题意知如果要想每月的销售利润不低于6300元，
则-3x²+540x-16800≥6300，
解得：70≤x≤110，
又∵规定该商品的利润率不能超过150%，
∴$\frac{x-40}{40}×$100%≤150%，
解得：x≤100，
故当70≤x≤100时，每月的销售利润不低于6300元，
∵其销售量y=-3x+420，y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y_最小值=120；
故该商品每月的成本最少需要120×40=4800元，
答：如果要想每月的销售利润不低于6300元，那么该商品每月的成本最少需要4800元．

点评 本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式是前提、基础，熟悉函数性质是关键．