Question

【题目】已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标；

（2）求证：CF⊥DF；

（3）点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，），B（4，4），∴F（0，1）（2）证明见解析；（3）P1（2，1）、P2（8，16）

【解析】

试题分析：（1）待定系数法求解即可．

（2）在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF；

（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根据比例求出P点坐标．

试题解析：（1）如图1，

当x=-1时，y=；当x=4时，y=4

∴A（-1，），B（4，4）

设直线AB的解析式为y=kx+b

则，解得

∴直线AB的解析式为y=x+1

当x=0时，y=1

∴F（0，1）

（2）在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，

根据勾股定理得：CF2=CE2+EF2=12+22=5，

∴CF=

在Rt△DEF中，DE=4，EF=2

∴DF2=DE2+EF2=42+22=20

∴DF=2

由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）

∴CD=5

∴CD2=52=25

∴CF2+DF2=CD2

∴∠CFD=90°

∴CF⊥DF

（3）存在．如图2作PM⊥x轴，垂足为点M

又∵PQ⊥OP

∴Rt△OPM∽Rt△OQP

∴∴

设P（x，x2）（x＞0），

则PM=x2，OM=x

①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，

∴

解得x=2∴P1（2，1）

②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，

∴

解得x=8

∴P2（8，16）

综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．