分析 由三角形ABE为等边三角形,EF垂直于AB,利用三线合一得到EF为角平分线,得到∠AEF=30°,进而确定∠BAC=∠AEF,再由一对直角相等,及AE=AB,利用AAS即可得证△ABC≌△EAF;由∠BAC与∠DAC度数之和为90°,得到DA垂直于AB,而EF垂直于AB,得到EF与AD平行,再由全等得到EF=AC,而AC=AD,可得出一组对边平行且相等,即可得证.
解答 解:当$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时,四边形ADFE是平行四边形.
理由:∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠CAB=30°,
∵△ABE为等边三角形,EF⊥AB,
∴EF为∠BEA的平分线,∠AEB=60°,AE=AB,
∴∠FEA=30°,又∠BAC=30°,
∴∠FEA=∠BAC,
在△ABC和△EAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFA}\\{∠BAC=∠AEF}\\{AB=AE}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△EAF(AAS);
∵∠BAC=30°,∠DAC=60°,
∴∠DAB=90°,即DA⊥AB,
∵EF⊥AB,
∴AD∥EF,
∵△ABC≌△EAF,
∴EF=AC=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
故答案为:$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
点评 此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{5}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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