Question

已知二次函数
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

(1)证明见解析；（2）；（3）(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)

试题分析：（（1）根据函数与方程的关系，求出△的值，若为正数，则此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．
试题解析：（1）因为△=
所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点
（2）设x₁、x₂是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以
即：
变形为：
所以：
整理得：
解方程得：
又因为：a<0
所以：a=－1
所以：此二次函数的解析式为
（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=
所以：S_△PAB=
所以：
即：，则
当时，，即
解此方程得：=－2或3
当时，，即
解此方程得：=0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)