Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=10

3

cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；
（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形相似；
（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC

（2）证明：∵AB⊥CD
∴

BC

=

BD

∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，
∴△AFO≌△CEB

（3）解：连接DO．设OE=x，
∵AB⊥CD
∴CE=

1

2

CD=5

3

cm．
在直角△OCE中，OC=OB=x+5（cm），
根据勾股定理可得：（x+5）²=（5

3

）²+x²
解得：x=5，即OE=5，
∴tan∠COE=

CE

OE

=

5 3

5

=

3

，
∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面积是：

120π×102

360

=

100π

3

cm²
△COD的面积是：

1

2

CD•OE=

1

2

×10

3

×5=25

3

cm²
∴阴影部分的面积是：（

100π

3

-25

3

）cm²．

点评：本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．