分析 (1)要使⊙O过A、D两点,即OA=OD,所以点O在线段AD的垂直平分线上,且圆心O在AC边上,所以作出AD的垂直平分线与AC的交点即为点O;
(2)要证明BC与⊙O相切,连接OD后,只需要证明∠ODC=90°即可;
(3)由于AE是⊙O的弦,可过点O作OF⊥AE于点F,然后利用垂径定理可知AF=1,利用△AOF∽△ACB求出AB的值,所以BE=AB-AE.再利用△OCD∽△ACB,求出半径OD,可知△AOE是等边三角形,所以$\widehat{DE}$所对的圆心角为60°,利用弧长公式即可求出$\widehat{DE}$的长度.
解答 解:(1)⊙O即为所求:
(2)连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠OAD,
∴∠BAD=∠ODA,
∴OD∥AB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,
∵OD是半径,
∴BC与⊙O相切;
(3)连接OE,过点O作OF⊥AB于点F,
∵AE=2,
∴由垂径定理定理可知:AF=1,
∵CD=2BD,
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$,$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$,
∵OF∥BC,
∴△AOF∽△ACB,
∴$\frac{OF}{BC}=\frac{AF}{AB}$,
∵OF=BD,
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$,
∴$\frac{1}{AB}$=$\frac{1}{3}$,
∴AB=3,
∴BE=AB-AE=1,
∵OD∥AB,
∴△OCD∽△ACB,
∴$\frac{OD}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$,
∴OD=2,
∴OA=OD=AE,
∴△AOE是等边三角形,
∴∠AEO=60°
∵OD∥AB,
∴∠EOD=60°,
∴$\widehat{DE}$的长度是:$\frac{60°π×2}{180°}$=$\frac{2}{3}π$.
点评 此题属于圆的综合题,涉及了尺规作图、相似三角形的判定与性质、圆的切线判定等知识,综合性较强,尺规作图是解答本题的关键.解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | cos40°=sin50° | B. | tan15°•tan75°=1 | ||
C. | sin225°+cos225°=1 | D. | sin60°=2sin30° |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | x2+1 | B. | -x2-1 | ||
C. | $\frac{1}{9}{x}^{2}-1$ | D. | 以上答案都不正确 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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