精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
13.如图,在直角坐标系中,抛物线y=a(x-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{9}{8}$与⊙M交于A,B,C,D四点,点A,B在x轴上,点C坐标为(0,-2).
(1)求a值及A,B两点坐标;
(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当∠CPD为锐角时,请求出m的取值范围;
(3)点E是抛物线的顶点,⊙M沿CD所在直线平移,点C,D的对应点分别为点C′,D′,顺次连接A,C′,D′,E四点,四边形AC′D′E(只要考虑凸四边形)的周长是否存在最小值?若存在,请求出此时圆心M′的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)把点C坐标代入抛物线解析式即可求出a,令y=0可得抛物线与x轴的交点坐标.
(2)根据题意可知,当点P在圆外部的抛物线上运动时,∠CPD为锐角,由此即可解决问题.
(3)存在.如图2中,将线段C′A平移至D′F,当点D′与点H重合时,四边形AC′D′E的周长最小,求出点H坐标即可解决问题.

解答 解:(1)∵抛物线y=a(x-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{9}{8}$经过点C(0,-2),
∴-2=a(0-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{9}{8}$,
∴a=-$\frac{1}{2}$,
∴y=-$\frac{1}{2}$(x-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{9}{8}$,
当y=0时,-$\frac{1}{2}$(x-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{9}{8}$=0,
∴x1=4,x2=1,
∵A、B在x轴上,
∴A(1,0),B(4,0).

(2)由(1)可知抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x-$\frac{5}{2}$)2+$\frac{9}{8}$,
∴C、D关于对称轴x=$\frac{5}{2}$对称,
∵C(0,-2),
∴D(5,-2),
如图1中,连接AD、AC、CD,则CD=5,

∵A(1,0),C(0,-2),D(5,-2),
∴AC=$\sqrt{5}$,AD=2$\sqrt{5}$,
∴AC2+AD2=CD2
∴∠CAD=90°,
∴CD为⊙M的直径,
∴当点P在圆外部的抛物线上运动时,∠CPD为锐角,
∴m<0或1<m<4或m>5.

(3)存在.如图2中,将线段C′A平移至D′F,则AF=C′D′=CD=5,

∵A(1,0),
∴F(6,0),
作点E关于直线CD的对称点E′,
连接EE′正好经过点M,交x轴于点N,
∵抛物线顶点($\frac{5}{2}$,$\frac{9}{8}$),直线CD为y=-2,
∴E′($\frac{5}{2}$,-$\frac{41}{8}$),
连接E′F交直线CD于H,
∵AE,C′D′是定值,
∴AC′+ED′最小时,四边形AC′D′E的周长最小,
∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′F′≥E′F,
则当点D′与点H重合时,四边形AC′D′E的周长最小,
设直线E′F的解析式为y=kx+b,
∵E′($\frac{5}{2}$,-$\frac{41}{8}$),F(6,0),
∴可得y=$\frac{41}{28}$x-$\frac{123}{14}$,
当y=-2时,x=$\frac{190}{41}$,
∴H($\frac{190}{41}$,-2),∵M($\frac{5}{2}$,-2),
∴DD′=5-$\frac{190}{41}$=$\frac{15}{41}$,
∵$\frac{5}{2}$-$\frac{15}{41}$=$\frac{175}{82}$,
∴M′($\frac{175}{82}$,-2)

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、圆的有关知识,解题的关键是理解直径所对的圆周角是直角,学会利用对称解决最小值问题,属于中考压轴题.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

3.如图,条形统计图是从曙光中学800名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数据,扇形图统计图是该校各年级人数比例分布图.那么该校七年级同学捐款的总数大约为5010元.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

4.如图,直线AB∥DE,∠B=35°,∠D=43°,则∠C的度数为78°.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

1.四边形ABCD中,AC、BD相交于O,下列条件中,能判定这个四边形是正方形的是(  )
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDB.AB∥CD,AC=BD
C.AD∥BC,∠A=∠CD.AO=DO,BO=CO,AD=AB

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

8.若x2m+3+y4n-1=6是二元一次方程,则m=-1,n=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

18.把x-y=1用含y的代数式表示x,得x=y+1.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

5.为了了解某校七年级500名学生的身高情况,从中抽取了100名学生进行测量,这个样本的容量(即样本中个体的数量)是100.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

2.如图,M、N分别为?ABCD的边CD、DA的中点,则△BMN与平行四边形ABCD的面积之比为(  )
A.1:4B.1:3C.3:8D.7:16

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

12.若△ABC的三条边a,b,c满足a2+2ab=c2+2bc,则△ABC的形状是(  )
A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

查看答案和解析>>

同步练习册答案