Question

20．对于每个非零自然数n，抛物线$y={x^2}-\frac{2n+1}{n（n+1）}x+\frac{1}{n（n+1）}$与x轴交于A_nB_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₆B₂₀₁₆的值是$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₆B₂₀₁₆的值．

解答 解：令y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=0，
即x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$=0，
解得x=$\frac{1}{n}$或x=$\frac{1}{n+1}$，
故抛物线$y={x^2}-\frac{2n+1}{n（n+1）}x+\frac{1}{n（n+1）}$与x轴的交点为（ $\frac{1}{n}$，0），（ $\frac{1}{n+1}$，0），
由题意得A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₆B₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2071}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为 $\frac{2016}{2017}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是用n表示出抛物线与x轴的两个交点坐标，此题难度不大．