【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
【答案】
(1)
解:连接AC,
∵点CD是半圆O的三等分点,
∴,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)
∴∠OCE=∠E,
∵CE⊥AD,
∴∠OCE=90°,
∴OC⊥CE,
∴CE是⊙O的切线
(2)
解:
四边形AOCD为菱形.
理由是:
∵,
∴∠DCA=∠CAB,
∴CD∥OA,
又∵AE∥OC,
∴四边形AOCD是平行四边形,
∵OA=OC,
∴平行四边形AOCD是菱形.
【解析】(1)连接AC,由题意得 , ∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,从而得出∠OCE=90°,即可证得结论;
(2)四边形AOCD为菱形.由,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的判定方法的相关知识,掌握任意一个四边形,四边相等成菱形;四边形的对角线,垂直互分是菱形.已知平行四边形,邻边相等叫菱形;两对角线若垂直,顺理成章为菱形,以及对切线的判定定理的理解,了解切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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【题目】已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数的图象上,P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2 .
(1)当P为线段AB的中点时,求d1+d2的值。
(2)直接写出d1+d2的范围,并求当d1+d2=3时点P的坐标。
(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1+ad2=4(a为常数),求a的值。
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【题目】已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且AP<PB.AP绕点A逆时针旋转角α(0°<α≤90°)得到AP1 , BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2 , 连接PP1、PP2 .
(1)如图1,当α=90°时,求∠P1PP2的度数;
(2)如图2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:△P2P1P∽△P2PA;
(3)如图3,过BP的中点E作l1⊥BP,过BP2的中点F作l2⊥BP2 , l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1P⊥PQ.
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【题目】如图,△A1B1A2 , △A2B2A3 , △A3B3A4 , …,△AnBnAn+1都是等腰直角三角形,其中点A1、A2、…、An在x轴上,点B1、B2、…、Bn在直线y=x上,已知OA1=1,则OA2015的长为 .
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【题目】如图,圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O,三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处,铁片与三角尺的唯一公共点为B,下列说法错误的是( )
A.圆形铁片的半径是4cm
B.四边形AOBC为正方形
C.弧AB的长度为4πcm
D.扇形OAB的面积是4πcm2
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin∠P=,CF=5,求BE的长.
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【题目】在直角坐标系中,O为原点,A(0,4),点B在直线y=kx+6(k>0)上,若以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,k的值为( )
A.
B.
C.3
D.
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