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(1)如图1,直线MN与⊙O相交,且与⊙O的直径AB垂直,垂足为P,过点P的直线与⊙O交于C、D两点,直线AC交MN于点E,直线AD交MN于点F.求证:PC•PD=PE•PF.
(2)如图2,若直线MN与⊙O相离.(1)中的其余条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)在图3中,直线MN与⊙O相离,且与⊙O的直径AB垂直,垂足为P.
①请按要求画出图形:画⊙O的割线PCD(PC<PD),直线BC与MN交于E,直线BD与MN交于F.
②能否仍能得到(1)中的结论?请说明理由.
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分析:(1)本题要证的实际是△ECP与△DFP相似.已知对顶角∠CPE=∠DPF,要想证相似就要再找出一组相等的对应角;
连接BD.根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB,因此根据等角的余角相等,即可得出∠PDF=∠DEP;由此可证出△PDF∽△PEC,根据相似三角形对应线段成比例,即可得出PC•PD=PE•PF.
(2)还成立,证法与(1)大致相同,只不过证三角形相似时,已知的不是对顶角,而是一个公共角.
(3)依然成立,还是通过证△ECP与△DFP相似,来求解.这两个三角形中已知了一个公共角,按(1)的思路,可连接AC,那么∠D=∠A,而∠A和∠PEB是一组对顶角的余角,因此∠A=∠PEB=∠D,由此可证得两三角形相似,即可证得(1)的结论.
解答:精英家教网(1)证明:连接BD
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠ADC+∠BDC=90°.
∵MN⊥AB,
∴∠AEP+∠BAC=90°.
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠ADC=∠AEP.
∵∠DPF=∠EPC,
∴△PDF∽△PEC.
PC
PF
=
PE
PD

即PC•PD=PE•PF.

(2)解:结论仍然成立.
证明:连接BD.精英家教网
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠ACD=∠PCE,∠ABD=∠ACD,
∴∠PCE+∠BAD=90°.
∵MN⊥AB,
∴∠PFA+∠BAD=90°.
∴∠PCE=∠PFA.
∵∠EPC=∠FPD,
∴△PCE∽△PFD.
PC
PF
=
PE
PD

∴PC•PD=PE•PF.

(3)解:结论仍然成立.
证明:连接AC.精英家教网
∵AB是⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°.
∵∠ABC=∠EBP,
∴∠A+∠EBP=90°.
∵MN⊥AB,
∴∠PEB+∠EBP=90°.
∴∠A=∠PEB.
∵∠A=∠D,
∴∠D=∠PEB.
∵∠DPF=∠EPC,
∴△DPF∽△EPC.
PC
PF
=
PE
PD

∴PC•PD=PE•PF.
点评:本题主要考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识点;根据圆周角定理得出的角相等,来证得三角形相似是解题的关键.
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