Question

（15分）如图所示，过点F（0，1）的直线y＝kx＋b与抛物线 交于M（x₁，
y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）．
（1）求b的值．
（2）求x₁•x₂的值
（3）分别过M、N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，
并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相
切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把点F（0，1）坐标代入y=kx＋b中得b="1.       " ……（3分）
（2）由y=x²和y=kx＋1得x²-kx-1=0化简得
x₁=2k-2    x₂=2k＋2  x₁·x₂="-4              " ……（6分）
（3）△M₁FN₁是直角三角形（F点是直角顶点）.理由如下：设直线l与y轴的交点是F₁
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²＋4    FN₁²=FF₁²＋F₁N₁²=x₂²＋4
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²∴△M₁FN₁是以F点为直角顶点的直角三角形.    ……（10分）
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1.
过M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+［（kx₁+1）-(kx₂+1)］²=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²=(k²+1)（x₁-x₂）²=(k²+1)(4）²=16（k²+1)² 
∴MN=4(k²+1)
分别取MN和M₁N₁的中点P，P₁，
PP₁=（MM₁+NN₁）= (y₁+1+y₂+1)= （y₁+y₂）+1=k(x₁+x₁)+2=2k²+2=2(k²+1)     ∴PP₁=MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.
∴以MN为直径的圆与l相切.    ……（15分）

解析