Question

如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，可求E点坐标；
（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；
（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；
（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理分别计算出BO=6

2

，OA=2

2

，AN=

5 17

4

，ON=

3 17

4

，这样可求出OP=

15 17

4

，BP=

9 17

4

，设P点坐标为（x，y），再利用勾股定理得到关于x，y的方程组，解方程组即可．

解答：解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（-2，2），B（6，6）代入，得

-2k+b=2 6k+b=6

，解得

k= 1 2 b=3

，
∴y=

1

2

x+3，令x=0，
∴E（0，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
将A（-2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得

4a-2b′+c=2 36a+6b′+c=6 c=0

，解得

a= 1 4 b′=- 1 2 c=0

，
∴y=

1

4

x²-

1

2

x

（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，
联立

y= 1 4 x2 - 1 2 x y=x+m

，得x²-6x-4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，
解得m=-

9

4

，x=3，y=

3

4

，即N（3，

3

4

）；
此时△BON面积=

1

2

×6×6-

1

2

（

3

4

+6）×3-

1

2

×

3

4

×3=

27

4

；

（4）过点A作AS⊥GQ于S，
∵A（-2，2），B（6，6），N（3，

3

4

），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG=

3

4

，NS=

5

4

，AS=5，
在Rt△SAN和Rt△NOG中，
∴tan∠SAN=tan∠NOG=

1

4

，
∴∠SAN=∠NOG，
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG，
∴∠OAN=∠NOB，
∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，
∵A（-2，2），N（3，

3

4

），
∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2，2），N（3，

3

4

），B（6，6），
∴BO=6

2

，OA=2

2

，AN=

5 17

4

，ON=

3 17

4

，
∴OP=

15 17

4

，BP=

9 17

4

，
设P点坐标为（4x，x），
∴16x²+x²=（

15 17

4

）²，
解得x=

15

4

，4x=15，
∵P、P′关于直线y=x轴对称，
∴P点坐标为（15，

15

4

）或（

15

4

，15）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题．