Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作?PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．
（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求x的值．
（3）求y与x之间的函数关系式．
（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．

Answer 1

分析 （1）先由∠C=90°，AC=BC，得出∠A=45°，再解等腰直角△APD，得出AD=AP•cos∠A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=PD，然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（2）当点E落在边BC上时，先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°，再解等腰直角△CPE，得出PC=PE•cos∠CPE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x，再根据AP+PC=AC列出方程x+$\frac{1}{2}$x=6，解方程即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4时，y=S_?PADE，根据平行四边形面积公式求解即可；②当4＜x≤6时，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．求出GE=DE-DG=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6，再根据y=S_?PADE-S_△GFE计算即可；
（4）由（2）知，x=4时，点E落在边BC上，此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等，所以分两种情况进行讨论：①当E在△ABC内部时，0＜x＜4．过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．求出EL=$\frac{1}{2}$x，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，EN=6-$\frac{3}{2}$x．由于$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可；②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．求出EL=$\frac{1}{2}$x，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，EG=$\frac{3}{2}$x-6．由于$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程，求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵PD⊥AB，
∴AD=AP•cos∠A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=PD，
∵四边形PADE是平行四边形，
∴PE=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；

（2）当点E落在边BC上时，如图1．
∵PE∥AD，
∴∠CPE=∠A=45°，
∵∠C=90°，
∴PC=PE•cos∠CPE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x．
∵AP+PC=AC，
∴x+$\frac{1}{2}$x=6，
∴x=4；

（3）①当0＜x≤4时，如图2．
y=S_?PADE=AD•PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²，即y=$\frac{1}{2}$x²；
②当4＜x≤6时，如图3，设DE与BC交于G，PE与BC交于F．
∵AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AB=$\sqrt{2}$AC=6$\sqrt{2}$，
∴DB=AB-AD=6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴DG=DB•sin∠B=（6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6-$\frac{1}{2}$x，
∴GE=DE-DG=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6，
∴y=S_?PADE-S_△GFE=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$x-6）²=-$\frac{5}{8}$x²+9x-18；

（4）①当E在△ABC内部时，0＜x＜4，如图4，过E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延长DE交BC于N，则EN⊥BC．
EL=PE•sin∠LPE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x，
EM=DE•sin∠EDM=x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
EN=DN-DE=DB•sin∠B-AP=（6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-x=6-$\frac{1}{2}$x-x=6-$\frac{3}{2}$x．
∵0＜x＜4，
∴$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．
当EL=EN时，E在∠ACB的平分线上，
有$\frac{1}{2}$x=6-$\frac{3}{2}$x，解得x=3，符合题意；
当EM=EN时，E在∠ABC的平分线上，
有$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=6-$\frac{3}{2}$x，解得x=$\frac{12（3-\sqrt{2}）}{7}$，符合题意；
②当E在△ABC外部时，4＜x≤6，过E作EL⊥AC交AC延长线于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．
EL=GC=AD•sin∠A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x，
EM=DE•sin∠EDM=x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
EG=DE-DG=AP-DB•sin∠B=x-（6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6．
∵4＜x≤6，
∴$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．
当EL=EG时，E在∠ACB的外角的角平分线上，
有$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$x-6，解得x=6，符合题意；
当EM=EG时，E在∠ABC的外角的角平分线上，
有$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{3}{2}$x-6，解得x=$\frac{12（3+\sqrt{2}）}{7}$＞6，不合题意舍去．
综上所述，点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3，6，$\frac{12（3-\sqrt{2}）}{7}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，三角形、四边形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．