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17.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2cm,将△ABC折叠,使点B落在射线CA上点D处,折痕为PQ.
(1)当点D与点A重合时,求PQ长;
(2)当点D与C、A不重合时,设AD=xcm,AP=ycm.
①求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当重叠部分为等腰三角形时,请直接写出x的值.

分析 (1)由折叠得出PQ是AB的垂直平分线,进而得出PQ是△ABC的中位线,即可得出结论;
(2)①由折叠得出PD=BP=2-y,再用勾股定理建立方程即可得出结论;
②根据等腰三角形的定义,分①PD=DQ时,BP=BQ,再根据翻折变换前后的线段相等判断出BP=BQ=PD=DQ,从而得到四边形BQDP是菱形,根据菱形的对边平行可得PD∥BC,BP∥DQ,然后判断出△APD和△CDQ都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质用AD表示出PD、CD,然后根据AC的长度列方程求解即可;②DQ=PQ时,BQ=PQ,求出△BPQ是等腰直角三角形,点B与点C重合,从而得到AD=AC;③PD=PQ时,PQ=BP,然后求出△BPQ是等腰直角三角形,点B与点A重合,不符合题意.

解答 解:(1)如图,
当点D和点A重合时,
由折叠知,AP=BP,∠BPQ=∠APQ,
∵∠APQ+∠BPQ=180°,
∴∠BPQ=∠APQ=90°=∠BAC,
∴PQ∥AC,
∵AP=BP,
∴PQ是△ABC的中位线,
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=1;

(2)①∵AD=x,AC=2,
∴CD=2-x,
∵AP=y,AB=2,
∴BP=2-y,
在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,
∴BC=2$\sqrt{2}$,∠B=∠C=45°,
如图1,
由折叠知,DP=BP=2-y,
在Rt△ADP中,根据勾股定理得,AP2+AD2=PD2
∴y2+x2=(2-y)2
∴y=-$\frac{1}{4}$x2+1(0≤x≤2);

②、Ⅰ、PD=DQ时,BP=BQ,
由翻折变换得,BP=PD,BQ=DQ,
∴BP=BQ=PD=DQ,
∴四边形BQDP是菱形,
∴PD∥BC,BP∥DQ,
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形,
在Rt△APD中,PD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$x,
在Rt△CDQ中,CD=DQ,
∵PD=DQ,
∴CD=$\sqrt{2}$AD,
∵AC=AD+CD,
∴AD+$\sqrt{2}$AD=2,
即:x+$\sqrt{2}$x=2
解得AD=2$\sqrt{2}$-2;
Ⅱ、DQ=PQ时,BQ=PQ,
∴∠BPQ=∠B=45°,
∴△BPQ是等腰直角三角形,
∴点B与点C重合,
∴x=AD=AC=2;
Ⅲ、PD=PQ时,PQ=BP,
∴∠BQP=∠B=45°,
∴△BPQ是等腰直角三角形,
∴点B与点A重合,
此时,点B与点A重合,不符合题意,舍去;
综上所述,AD的长度为2或2$\sqrt{2}$-2.

点评 此题是几何变换综合题,主要考查了等腰直角三角形的性质,折叠的性质,三角形的中位线定理,勾股定理,等腰三角形的性质,解(1)的关键是得出PQ是AB的垂直平分线,解(2)①的关键是利用勾股定理建立方程,解(2)②的关键是分类讨论思想,是一道中考常考题.

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