Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．
求证：EF=2DE．

Answer 1

（1）解：直线l即为所求．                            
分别以AB为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
作图正确．                                          

（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ABC=60°．
又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，
∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．
又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC．                       
在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，
∴EF=2EC，∴EF=2ED．                                
分析：∠A=30°易证∠F=30°，因而EF=2EC．
要证EF=2DE，只要证明EC=DE，而根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到．
点评：本题主要考查了直角三角形中有一个角是30度，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．