Question

如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系式一定满足（　　）

• A、a≥

  1

  2

  b
• B、a≥b
• C、a≥

  3

  2

  b
• D、a≥2b

Answer 1

分析：本题可结合方程思想来解答．由于△ABP和△DCP相似，可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式．设PC=x，那么BP=a-x，根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于BC边上至少有一点符合条件的P点，因此方程的△≥0，由此可求出a、b的大小关系．

解答：解：若设PC=x，则BP=a-x，
∵△ABP∽△PCD，
∴

AB

PC

=

BP

CD

，即

b

x

=

a-x

b

，
即x²-ax+b²=0方程有解的条件是：a²-4b²≥0，
∴（a+2b）（a-2b）≥0，则a-2b≥0，
∴a≥2b．
故本题选D．

点评：本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决．