Question

17．如图所示，在?ABCD中，∠BAD的平分线与∠ABC的平分线、∠ADC的平分线分别交于点E和点F，∠BCD的平分线与∠ABC的平分线、∠ADC的平分线分别交于点H和点G．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若将题干中的?ABCD换做矩形ABCD，试判断四边形EFGH的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，再根据角平分线的性质可得∠FAB+∠FBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=90°，然后同理可得∠E=90°，∠DGA=90°，根据三个角是直角是四边形是矩形可得四边形EGFH是矩形．
（2）若将题干中的?ABCD换做矩形ABCD，则四边形EFGH的形状为正方形，由（1）可知四边形EFGH是矩形，再证明EH=EF即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠FAB+∠HBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∴∠AEB=90°，
同理：∠H=90°，∠AFG=90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）若将题干中的?ABCD换做矩形ABCD，则四边形EFGH的形状为正方形，
理由如下：
由（1）易证四边形EGFH是矩形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵∠BAD的平分线与∠ABC的平分线相较于E，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴AE=BE，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH的形状为正方形．

点评 此题主要考查了矩形的判定和性质以及正方形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是掌握三个角是直角是四边形是矩形．