Question

在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）设四边形APQD的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是3cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？（直接写出答案，不必写过程）

Answer 1

【答案】分析：（1）四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；
（2）分别考虑两种情况，①当P在AB上，②当P在CB上，然后根据每种情况得出关系式即可．
（3）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
解答：解：（1）∵AP=4t，DQ=20-t，
当四边形APQD为矩形时，则AP=DQ，即4t=20-t，
∴t=4．

（2）①当P在AB上，
S=（DQ+AP）AD，
=（4t+20-t）×4
=6t+40（0＜t≤5），
②当P在CB上，
S=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△QCP，
=4×20-×20×（4t-20）-×t×（24-4t）
=80-40t+200-12t+2t²
=2t²-52t+280（5＜t＜6），

（3）；；；t₄=6；t₅=10．
点评：本题考查矩形的性质及圆与圆的位置关系，注意在考虑两圆外切时，要注意两圆的圆心距等于两圆的半径之和，大于的话就说明外离，小于的话就说明相交；还有要注意求出的t的值不能超过两点运动到D点的最小值，否则就不存在．