Question

6．已知二次函数y=ax²-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|²-2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．

Answer 1

分析 （1）先利用对称轴公式x=-$\frac{b}{2a}$计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|²-2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|²-2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax+c的对称轴为：x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴抛物线过（1，4）和（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）两点，
代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-2a+c=4}\\{\frac{49}{4}a-7a+c=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，c=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；
由三角形两边之差小于第三边可知：
|PC-PD|≤|CD|，
∴P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，此时最大值为，
|CD|=$\sqrt{2}$，
由于CD所在的直线解析式为y=x+3，
将P（t，0）代入得t=-3，
∴此时对应的点P为（-3，0）；
（3）y=a|x|²-2a|x|+c的解析式可化为：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$，
设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：
线段PQ所在的直线解析式：y=-2x+2t，
∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$有一个公共点，此时t=$\frac{3}{2}$，
当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$有两个公共点，所以当$\frac{3}{2}$≤t＜3时，
线段PQ与y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$有一个公共点，
②将y=-2x+2t代入y=-x²+2x+3（x≥0）得：
-x²+2x+3=-2x+2t，
-x²+4x+3-2t=0，
令△=16-4（-1）（3-2t）=0，
t=$\frac{7}{2}$＞0，
所以当t=$\frac{7}{2}$时，线段PQ与y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$也有一个公共点，
③当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ只与
y=-x²-2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=-3，
所以当t≤-3时，线段PQ与y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$也有一个公共点，
综上所述，t的取值是$\frac{3}{2}$≤t＜3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．