Question

10．已知y=$\frac{1}{4}$（x-3）²顶点为M，与y轴交于N，直线y=kx-3k+1过定点P，与抛物线交于A、B两点（A点在B点左边）
（1）求P点坐标；
（2）若AB交MN于C，求$\frac{AC}{PC}$的最大值；
（3）分别作AD⊥x轴于D，BQ⊥x轴于Q
①当k=0时，A（1，1）、B（5，1），AB-（AP+BQ）=1；
②当k=$\frac{3}{4}$时，A（2，$\frac{1}{4}$）、B（7，4），AB-（AP+BQ）=1；
③猜想：当k变化时，是否存在平行于x轴的直线y=n，使AB两点到直线y=n的距离和恒等于AB？若存在，求n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=kx-3k+1=k（x-3）+1可得点P坐标；
（2）由抛物线解析式求得点M、N的坐标，从而得出直线MN解析式y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，设A（a，$\frac{1}{4}$（a-3）²），则D（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{9}{4}$），由PM∥y轴知$\frac{AC}{PC}=\frac{AD}{PM}$=AD，表示出AD的长，根据二次函数的性质即可得其最值；
（3）①分别求出AB、AP+BQ的长即可得；②分别求出AB、AP+BQ的长即可得；③设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-3）^{2}}\\{y=kx-3k+1}\end{array}\right.$，整理得x²-（4k+6）x+12k+5=0，从而得出x₁+x₂=4k+6、x₁x₂=12k+5，表示出AB和A、B两点到直线y=n的距离和，由题意列出方程求解可得．

解答 解：（1）∵y=kx-3k+1=k（x-3）+1，
∴当x=3时，y=1，即P（3，1）；

（2）由y=$\frac{1}{4}$（x-3）²知点M（3，0）、N（0，$\frac{9}{4}$），
∴直线MN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$，
∵P、M两点的横坐标相同
∴PM∥y轴，
过点A作AD∥y轴交MN于D，
设A（a，$\frac{1}{4}$（a-3）²），则D（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{9}{4}$）
∴$\frac{AC}{PC}=\frac{AD}{PM}$=AD，
∵AD=-$\frac{3}{4}$a+$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$（a-3）²=-$\frac{1}{4}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{16}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，AD有最大值为$\frac{9}{16}$，即$\frac{AC}{PC}$的最大值为$\frac{9}{16}$；

（3）①当k=0时，∵A（1，1）、B（5，1）、P（3，1），
∴AB=4，AP+BQ=2+1=3，则AB-（AP+BQ）=1，
故答案为：1；
②当k=$\frac{3}{4}$时，∵A（2，$\frac{1}{4}$）、B（7，4）、P（3，1），
∴AB=$\sqrt{（7-2）^{2}+（4-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
AP+BQ=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1-\frac{1}{4}）^{2}}$+4=$\frac{21}{4}$，
则AB-（AP+BQ）=$\frac{25}{4}$-$\frac{21}{4}$=1，
故答案为：1；
③存在，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-3）^{2}}\\{y=kx-3k+1}\end{array}\right.$，整理得x²-（4k+6）x+12k+5=0，
∴x₁+x₂=4k+6，x₁x₂=12k+5，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x₁-x₂|=4k²+4，
又A、B两点到直线y=n的距离和为$\frac{1}{4}$x₁²-$\frac{3}{2}$x₁+$\frac{9}{4}$-n+$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{3}{2}$x₂+$\frac{9}{4}$-n=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）²-$\frac{1}{2}$x₁x₂-$\frac{3}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{9}{2}$-2n=4k²+2-2n，
∴4k²-2n+2=4k²+4，
解得：n=-1．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握直线与抛物线的交点问题及两点间的距离公式是解题的关键．