Question

如图，在?ABCD中，AD=2CD，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，连结EM．求证：∠DME=3∠AEM．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：证明题

分析：延长CD交EM的延长线于F，连接CM，利用“角角边”证明△AEM和△DFM，根据全等三角形对应边相等可得EM=MF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ECF=∠AEC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=CM=MF，根据等边对等角可得∠MCE=∠MEC，∠MCF=∠F，设∠AEM=x，表示出∠MEC，再表示出∠EMC和∠CMD，然后根据∠DME=∠EMC+∠CMD整理即可得证．

解答：证明：如图，延长CD交EM的延长线于F，连接CM，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵平行四边形ABCD的边AB∥CD，
∴∠AEM=∠F，
在△AEM和△DFM中，

∠AEM=∠F ∠AME=∠DMF AM=DM

，
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=MF，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠AEC=90°，
∴EM=CM=MF，
∴∠MCE=∠MEC，∠MCF=∠F，
设∠AEM=x，则∠MEC=90°-x，
在△CEM中，∠EMC=180°-2（90°-x）=2x，
在△CMF中，∠MCF=∠F=x，
∵AD=2CD，M是AD的中点，
∴MD=CD，
∴∠CMD=∠MCF=x，
∴∠DME=∠EMC+∠CMD，
=2x+x，
=3x，
即：∠DME=3∠AEM．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造成全等三角形和等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．