Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图），E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．
（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）连接BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．

Answer 1

分析：（1）△ABM中，已知了AB的长，要求面积就必须求出M到AB的距离，如果连接AB的中点和M，那么这条线就是直角梯形的中位线也是三角形ABM的高，那么AB边上的高就是（AD+BE）的一半，然后根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式；
（2）根据以AB，DE为直径的圆外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根据BE，AD的差和AB的长，用勾股定理来表示出DE，然后根据上面分析的等量关系得出关于x的方程，即可求出x的值，即BE的长；
（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：
①当∠ADN=∠BME时，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出关于DE，BE，EM的比例关系式，即可求出x的值．
②当∠AND=∠BEM时，∠ADB=∠BEM，可根据这两个角的正切值求出x的值．

解答：解：（1）取AB的中点H，连接MH，
∵M是线段DE的中点
∴MH=

1

2

（BE+AD），MH∥AD，
∵∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴MH⊥AB，
∴S_△ABM=

1

2

AB•MH得y=

1

2

x+2；（x＞0）



（2）过点D作DF⊥BC交于F，由图形可得DE=

(x-4)2+22

，
又∵MH=

1

2

AD+

1

2

BE=

1

2

（AD+BE），
即

1

2

（x+4）=

1

2

[2+

(x-4)2+22

]．
解得x=

4

3

．
即线段BE的长为

4

3

．

（3）因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．
①当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足为F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∵

DE

BE

=

BE

EM

，即BE²=DE•EM，
∴BE²=

1

2

DE²，
∴x²=

1

2

[2²+（x-4）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
综上所述线段BE为8或2．

点评：本题主要考查了直角梯形的性质，中位线定理以及相似三角形的性质等知识点，（3）中要根据不同的对应角相等来分情况讨论，不要漏解．