Question

11．如图，△ABC为等边三角形，F为AC上一点，射线CN和AB平行，CN上的两点D、E满足DC=DE=AF．
①求证：AD=BF；
②延长BF到M，使得MF=FB，连接ME，判断ME和BC的位置关系并证明．

Answer 1

分析 （1）运用等边三角形的性质直接由SAS得出△ABF≌△CAD就可以得出BF=AD；
（2）连接AE，AM，作AG∥BC交EM于Q，CN与G，通过证明△AFM≌△EDA就可以得出AM=EA，∠MAF=∠AED，再由平行四边形的性质就可以∠ABC=∠AGC=60°，就有∠CAG=60°，∠FAM=60°+∠2，∠AED=60°+∠1，就可以得出∠1=∠2，由等腰三角形的性质及可以得出AG⊥ME，得出BC⊥ME．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵∠ACN=60°，
∴∠BAC=∠ACN．
在△ABF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠ACD}\\{AF=CD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴BF=AD；

（2）BC⊥ME，
证明：连接AE，AM，作AG∥BC交EM于Q，CN与G，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，
∵∠ACN=60°，
∴∠BAC=∠ACN．
∴AB∥CN．
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴∠AGC=∠ABC=60°．
∴∠CAG=60°．
∵MF=BF，
∴MF=AD．
∵△ABF≌△CAD，
∴∠ABF=∠CAD．
∴∠ABF+∠BAC=∠CAD+∠ACN
∵∠AFM=∠ABF+∠BAC，∠ADE=∠CAD+∠ACN，
∴∠AFM=∠ADE．
∵CD=DE，
∴AF=DE．
在△AFM和△EDA中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DE}\\{∠AFM=∠ADE}\\{MF=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△EDA（SAS），
∴AM=EA，∠MAF=∠AED．
∵∠MAF=∠CAG+∠2=60°+∠2，∠AED=∠AGC+∠1=60°+∠1，
∴∠2=∠1．
∴AG⊥ME，
∴BC⊥ME．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．