Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的中点，AB⊥BE．

（1）求证：BD2＝ADDC；

（2）连结AE，当BD＝BC时，求证：ABCE为平行四边形．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到BE=DE，由等腰三角形的性质得到∠DBE=∠BDE，根据角平分线的定义得到∠ADB=∠BDE，等量代换得到∠ADB=∠DBE，根据平行线的判定定理得到AD∥BE，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由已知条件得到△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BDC=45°，求得∠ADE=90°，推出四边形ADEB是矩形，根据矩形的性质得到AB=DE,AE=BD,即可得到结论

（1）证明：∵DB⊥BC，点E为边CD的中点，

∴BE＝DE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠BDE∴∠ADB＝∠DBE，

∴AD∥BE，

∵AB⊥BE，

∴∠A＝∠ABE＝90°，

∵∠DBC＝90°，

∴∠A＝∠DBC，

∴△ADB∽△BDC，

∴，

∴BD2＝ADDC；

（2）解：∵BD＝BC，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∴∠BDC＝45°，

∴∠ADE＝90°，

∴四边形ADEB是矩形，

∴AB＝DE，AE＝BD，

∴AB＝CE，AE＝BC，

∴四边形ABCE为平行四边形．