精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
已知:在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上,AE=2.
(1)如图1,当四边形EFGH为正方形时,求△GFC的面积;
(2)如图2,当四边形EFGH为菱形,且BF=a时,求△GFC的面积(用含a的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,△GFC的面积能否等于2?请说明理由.
精英家教网
分析:(1)过点G作GM⊥BC于M,可以证明△MFG≌△BEF,就可以求出GM的长,进而就可以求出FC,求出面积.
(2)证明△AHE≌△MFG.得到GM的长,根据三角形的面积公式就可以求出面积.
(3)△GFC的面积不能等于2,根据面积就可以求出a的值,在△BEF中根据勾股定理就可以得到EF,进而在直角△AHE中求出AH.
解答:解:(1)如图1,过点G作GM⊥BC于M.
在正方形EFGH中,∠HEF=90°,EH=EF,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠AHE=∠BEF,
又∵∠A=∠B=90°,
∴△AHE≌△BEF,
同理可证:△MFG≌△BEF,
∴GM=BF=AE=2,
∴FC=BC-BF=10,
则S△GFC=10,
精英家教网

(2)如图2,过点G作GM⊥BC于M.
连接HF.
∵AD∥BC,∴∠AHF=∠MFH,
∵EH∥FG,∴∠EHF=∠GFH,
∴∠AHE=∠MFG.
又∵∠A=∠GMF=90°,EH=GF,
∴△AHE≌△MFG.
∴GM=AE=2.
S△GFC=
1
2
FC•GM=
1
2
(12-a)×2=(12-a)

(3)△GFC的面积不能等于2.
∵若S△GFC=2,则12-a=2,
∴a=10.
此时,在△BEF中,EF=
BE2+BF2
=
(10-2)2+102
=
164

在△AHE中,AH=
EH2-AE2
=
EF2-AE2
=
164-22
=
160
>12

∴AH>AD,
即点H已经不在边AD上.
故不可能有S△GFC=2;
解法二:△GFC的面积不能等于2,
∵点H在AD上,
∴菱形边长EH的最大值为2
37

∴BF的最大值为2
21

又因为函数S△GFC=12-a的值随着a的增大而减小,
所以S△GFC的最小值为12-2
21

又∵12-2
21
>2

∴△GFC的面积不能等于2.
点评:解决本题的关键是证明三角形全等.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以点A为圆心,r为半径画圆,矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外,则半径r的范围是
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图1所示,已知:在矩形ABCD中,AB=6,点P在AD边上.
(1)如果∠BPC=90°,求证:△ABP∽△DPC;
(2)在问题(1)中,当AD=13时,求tan∠PBC;
(3)如图2所示,原题目中的条件不变,且AP=3,DP=9,M是线段BP上一点,过点M作MN∥BC交PC于点N,分别过点M,N作ME⊥BC于点E,NF⊥BC于点F,并且矩形MEFN和矩形ABCD的长与宽之比相等,求MN.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•临沂)已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•北塘区一模)已知,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C,D两点),点P从点C出发,以2cm/s的速度,沿CD作匀速运动.连接PM,过点P作PM的垂线与边DA相交于点E(如图),设点P运动的时间为t(s)
(1)DE的长为
-
8
3
t2+
16
3
t
-
8
3
t2+
16
3
t
(用含t的代数式表示);
(2)若点P从点C出发的同时,直线BD沿着射线AD的方向以3cm/s的速度从D点出发,以CP长为直径作圆⊙O,当点P到达点D时,直线BD也停止运动.当⊙O与直线BD相切时,求DE的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•重庆)已知,在矩形ABCD中,E为BC边上一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF=7,连接AF.如图1,现有一张硬质纸片△GMN,∠NGM=90°,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上.如图2,△GMN从图1的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ.当点N到达终点B时,△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒,解答下列问题:

(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值;
(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使△APQ是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(3)在整个运动过程中,设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S.请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案