Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以OB为半径的⊙O的圆心在边AB上，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=8，CD=12
（1）求BC及AB的长
（2）求证DE∥OC
（3）求半径OB及线段AE的长
（4）求OC的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理得到BC=CD=12；在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出AB；
（2）⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，根据切线的性质得到OB⊥BC，OD⊥AC，易证得Rt△OBC≌Rt△ODC，则∠BOC=∠DOC，再利用三角形外角性质得到∠BOD=∠ODE+∠OED，而∠ODE=∠OED，则∠BOC=∠OED，根据平行线的判定即可得到结论；
（3）易证Rt△AOD∽Rt△ACB，则OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，可得到OD=6，即可得到OB，由AE=AB-2OB可计算出AE的长；
（4）在Rt△OBC中利用勾股定理即可计算出OC的长．

解答：解：（1）∵⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，
∴BC=CD=12；
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=8+12=20，BC=12，
∴AB=

202-122

=16，（2）∵⊙O与AB相交于点B，与AC相切于点D，
∴OB⊥BC，OD⊥AC，
而OB=OD，CD=CB，
∴Rt△OBC≌Rt△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，
又∵∠BOD=∠ODE+∠OED，∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED，
∴DE∥OC；
（3）∵∠A公共，∠ADB=∠ABC=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，
∴OD=6，
∴OB=6，
∴AE=AB-2OB=16-2×6=4；
（4）在Rt△OBC中，
OC²=OB²+BC²，
∴OC=

122+  62

=6

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角分别相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了切线的性质、平行线的判定以及勾股定理．