Question

11．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF=45°．
（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）猜想BE=DF+EF，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，通过角的计算可得出∠EAF′=∠EAF，结合AF=AF′、AE=AE即可证出△EAF≌△EAF′（SAS），进而得出EF=EF′，再结合BE=BF′+EF′即可得出结论；
（2）由△EGF∽△EFA可得出∠EFG=∠EAF=45°，结合∠ECF=90°可得出CE=CF，设BE=x（x＞1），DF=y，通过勾股定理以及CE=CF即可得出x、y的方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）猜想：BE=DF+EF，理由如下：
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，
由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，
∵∠BAF′+∠EAF′+∠GAD=90°，∠BAF′=∠DAF，∠EAF=∠GAD+∠DAF=45°，
∴∠EAF′+∠GAD+∠DAF=90°，∠EAF′=∠EAF=45°．
在△EAF和△EAF′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF′}\\{∠EAF=∠EAF′}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∴BE=BF′+EF′=DF+EF．
（2）∵△EGF∽△EFA，
∴∠EFG=∠EAF=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF．
设BE=x（x＞1），DF=y，则EF=x-y，
在Rt△ECF中，CE=x-1，CF=1+y，EF=x-y，∠ECF=90°，
∴CE²+CF²=EF²，即（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，
∴y=$\frac{x-1}{x+1}$，
又∵CE=CF，即x-1=1+y，
∴x-1=1+$\frac{x-1}{x+1}$，化简得：x²-2x-1=0，
解之得：x=1+$\sqrt{2}$或x=1-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴BE的长为1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．