Question

3．已知二次函数y=-x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AB解析式为y=kx+4，且与二次函数交于点B，C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}$=$\frac{1}{3}$，求k；
（3）是否存在实数k，使∠BOC=90°？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用对称轴方程可求出b=4，然后利用抛物线经过原点得到c=0，从而可得抛物线的解析式为y=-x²+4x；
（2）设B（m，-m²+4m），C（n，-n²+4n），作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，根据三角形面积公式得到AB：BC=1：3，再证明△ABD∽△ACE，利用相似比得$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{m}{n}$=$\frac{1}{4}$，则n=4m，根据抛物线与直线的交点问题，可把m、n看作方程-x²+4x=kx+4的两根，则m+n=-k+4，mn=4，于是可求出m、n，得到B（1，3），然后把B点坐标代入y=kx+4中可求出k的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，设B（m，km+4），C（n，kn+4），由（1）得m+n=-k+4，mn=4，再根据两点间的距离公式得到OB²=m²+（km+4）²，OC²=n²+（kn+4）²，BC²=（m-n）²+（km-kn）²，根据利用勾股定理的逆定理，当OB²+OC²=BC²时，∠BOC=90°，即m²+（km+4）²+n²+（kn+4）²=（m-n）²+（km-kn）²，然后整理后把m+n=-k+4，mn=4代入可求出k的值．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的对称轴为x=2，
∴-$\frac{b}{2×（-1）}$=2，解得b=4，
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x；
（2）设B（m，-m²+4m），C（n，-n²+4n），
作BD⊥y轴于D，CE⊥y轴于E，
∵$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB：BC=1：3，
∵BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{m}{n}$=$\frac{1}{4}$，
∴n=4m，
∵m、n为方程-x²+4x=kx+4的两根，
∴m+n=-k+4，mn=4，
∴m•4m=4，解得m₁=1，m₂=-1（舍去），
∴n=4，
∴B（1，3），
把B（1，3）代入y=kx+4得k+4=3，
∴k=-1；
（2）存在．
设B（m，km+4），C（n，kn+4），
∵m、n为方程-x²+4x=kx+4的两根，
∴m+n=-k+4，mn=4，
OB²=m²+（km+4）²，OC²=n²+（kn+4）²，BC²=（m-n）²+（km-kn）²，
当OB²+OC²=BC²时，∠BOC=90°，即m²+（km+4）²+n²+（kn+4）²=（m-n）²+（km-kn）²，
整理得（1+k²）mn+4k（m+n）+16=0，
∴4（1+k²）+4k（-k+4）+16=0，
解得k=-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征；能灵活运用相似三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理；把抛物线与直线的交点问题转化为根与系数的关系问题；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．