Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据全等三角形的判定定理ASA推知△BEC≌△CDB，然后由全等三角形的对应边相等证得BE=CD；
（2）作辅助线MK⊥CD于K构建矩形MNDK，然后理由矩形的对边平行且相等、平行线的性质、已知条件AB=AC来证明△EMC≌△KCM（AAS）；最后利用全等三角形的性质推知ME=CK，所以CK+KD=ME+MN=CD，即ME+MN=CD；
（3）作辅助线“过C作CK⊥MN于K”构建矩形CKND．然后利用矩形CNKD、正方形EFGH的性质以及已知条件AB=AC推知△ECM≌△KCM，由全等三角形的对应边相等知EM=KM，所以根据MK=MN+NK推知ME-MN=CD．
解答：解：（1）BE=CD…2分
证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）；
又∵CD⊥BA，BE⊥CE，
∴∠EBC=∠DCB（等角的余角相等）；
在△BEC和△CDB中，
，
∴△BEC≌△CDB（ASA），
∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）；

（2）ME+MN=CD．…3分
证明：作MK⊥CD于K．
∵MN⊥BA于N，∠D=90°，MK⊥CD，
∴四边形MNDK为矩形．
∴MN=KD，MK∥BD．…4分
∴∠DBC=∠KMC．
∵AB=AC，
∴∠ECM=∠DBC=∠KMC．…5分
又∵∠E=∠MKC=90°，CM=MC，
∴△EMC≌△KCM（AAS）．
∴ME=CK．…6分
∴CK+KD=ME+MN=CD，即ME+MN=CD．…7分

（3）ME-MN=CD．…8分
过C作CK⊥MN于K．
∵MN⊥BA，CD⊥BA，
∴四边形CKND是矩形．…9分
∴CD=NK，CK∥BA．
∴∠MCK=∠DBC．
又∵AC=AB，
∴∠DCB=∠BCA．
又∵∠ECM=∠BCA，
∴∠ECM=∠MCK．
∵正方形EFGH，
∴∠HEF=∠MEC=90°．
又∵MC=MC，
∴△ECM≌△KCM．
∴EM=KM．…11分
又∵MK=MN+NK，
∴ME-MN=CD．…12分

点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的性质．在证明（2）、（3）的结论时，都是通过作辅助线构建矩形来推理三角形全等的．