Question

如图，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点P，点M是CP的中点，点N是AB的中点，求证：MN⊥DE．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：连接DM、EM，DN、EN，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=EM=

1

2

PC，DN=EN=

1

2

AB，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线判断出点M、N都在DE的垂直平分线上，从而得证．

解答：证明：如图，连接DM、EM，DN、EN，
∵AD、BE、CF都是三角形的高，点M是CP的中点，点N是AB的中点，
∴DM=EM=

1

2

PC，DN=EN=

1

2

AB，
∴点M、N都在DE的垂直平分线上，
∴MN⊥DE．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．