分析 (1)由勾股定理求出AC,由∠CAD=30°,得出DC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$,由三角函数求出AD即可;
(2)过N作NE⊥AD于E,作NF⊥DC,交DC的延长线于F,则NE=DF,求出∠NCF=75°,∠FNC=15°,由三角函数求出FC,得NE=DF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$,即可得出结果;
(3)由三角函数求出FN,得出PF,△PMN的面积y=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积,得出y是x的二次函数,即可得出y的最大值.
解答 解:(1)∵∠ABC=90°,AB=BC=4cm,
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,
∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$,
∴AD=$\sqrt{3}$DC=2$\sqrt{6}$;
故答案为:2$\sqrt{6}$,2$\sqrt{2}$;
(2)过点N作NE⊥AD于E,作NF⊥DC,交DC的延长线于F,如图所示:
则NE=DF,
∵∠ABC=∠ADC=90°,AB=BC,∠CAD=30°,
∴∠ACB=45°,∠ACD=60°,
∴∠NCF=180°-45°-60°=75°,∠FNC=15°,
∵sin∠FNC=$\frac{FC}{NC}$,NC=x,
∴FC=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x,
∴NE=DF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$,
∴点N到AD的距离为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$;
(3)∵sin∠NCF=$\frac{FN}{NC}$,
∴FN=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x,
∵P为DC的中点,
∴PD=CP=$\sqrt{2}$,
∴PF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+$\sqrt{2}$,
∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积
=$\frac{1}{2}$($\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{6}$-x)($\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$)-$\frac{1}{2}$(2$\sqrt{6}$-x)×$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$($\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+$\sqrt{2}$)($\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x)
=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$x2+$\frac{7-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{3}$,
即y是x的二次函数,
∵$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$<0,
∴y有最大值,
当x=-$\frac{\frac{7-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}}{2×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}}$=$\frac{7-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$时,
y有最大值为$\frac{6\sqrt{6}+7\sqrt{3}-10\sqrt{2}-30}{4\sqrt{2}-4\sqrt{6}}$=$\frac{8\sqrt{3}+23\sqrt{6}+9\sqrt{2}-16}{16}$.
点评 本题是相似形综合题目,考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果.
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A. | 1<a<2 | B. | -2<a<0 | C. | -3≤a≤-2 | D. | -10<a<-4 |
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