如图1,直线与轴、轴分别相交于点C、D,一个含45º角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动,滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点,∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B。
(1)试探索△AOB能否构成以AO、AB为腰的等腰三角形。若能,请求出点B的坐标;若不能,说说明理由;
(2)若将题中“直线”、“∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B”分别改为“直线”、“∠A的另一边与轴的负半轴相交于点B”(如图2),其他条件不变,试探索△AOB能否为等腰三角形(只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况)。若能,请求出点B的坐标;若不能,请说明理由
解:代入,代入,
得点C、D的坐标分别为(1,0)、(0,1)。
则OC=OD=1,CD=,∠OCD=∠ODC=45º。
(1)△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形。
∵AO=AB,∠OAB=45º,
∴∠AOB=∠ABO=67.5º,∠DOA=22.5º,
又∵∠ABO=∠BAC+∠ACB,即67.5º=∠BAC+45º,
∴∠BAC=22.5º=∠DOA,
∴△ABC≌△OAD,
∴AC=OD=1,BC=AD=CD-AC=-1,
则OB=OC-BC=2-,点B的坐标为(2-,0),
即在滑动过程中△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形,
此时点B的坐标为(2-,0)。
(2)若△OAB为等腰三角形,则有如下三种情况:
①OA=OB,则∠OBA=∠OAB=45º,因此∠AOB=90º,点A与点D重合,不合题意。
②BA=BO,则∠BAO=∠BAO,∴OA∥CA,因此不合题意。
③AB=AO,
∵∠BAO=45º,∴∠AOB=∠ABO=67.5º,
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5º
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5º=∠AOD
∴∠ABC=∠BAC=67.5º
由知CD=OD=,DC=,
∴AD=OD=,BC=AC=AD+DC=+,
∴BO=BC-OC=,
∴点B的坐标为(,0)。
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如图7,直线与轴、轴分别交于A、B两点.(1)将直线AB绕原点O沿逆时针方向旋转90°得到直线. 请在《答题卡》所给的图中画出直线,此时直线AB与的位置关系为 (填“平行”或“垂直”)
(2)设(1)中的直线的函数表达式为,直线的函数表达式为,则k1·k2= .
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