Question

以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示．
（1）试求AM、DM的长；
（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求AM的长，即是求AF的长，只需求得PF的长，根据勾股定理进行计算PD的长就可；要求DM的长，只需AD-AM就可；
（2）根据黄金分割点的定义，只需证明AM²=AD•DM．

解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1cm，AD=2cm，
由勾股定理知PD=

AD2+AP2

=

4+1

=

5

cm，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=

5

-1（cm）
DM=AD-AM=3-

5

（cm）；

（2）∵AM²=（

5

-1）²=6-2

5

，
AD•DM=2×（3-

5

）=6-2

5

，
∴AM²=AD•DM，
所以点M是线段AD的黄金分割点．

点评：能够根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明．