Question

如果方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）

• A．0≤m≤1
• B．

  3

  4

  ≤m
• C．

  3

  4

  ≤m≤1
• D．

  3

  4

  ＜m≤1

Answer 1

分析：方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x²-2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x²-2x+m=0的两个根设是x₂和x₃，一定是两个正数，且一定有|x₂-x₃|＜1＜x₂+x₃，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．

解答：解：∵方程（x-1）（x²-2x+m）=0有三根，
∴x₁=1，x²-2x+m=0有根，方程x²-2x+m=0的△=4-4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x₂+x₃＞x₁=1，|x₂-x₃|＜x₁=1，而x₂+x₃=2＞1已成立；
当|x₂-x₃|＜1时，两边平方得：（x₂+x₃）²-4x₂x₃＜1．
即：4-4m＜1．解得m＞

3

4

．
∴

3

4

＜m≤1．
故选D．

点评：本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．