Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），且满足条件a＞b＞c，a+b+c=0，下列5个命题：①ac＜0；②存在满足条件的a，b，使得二次函数在x=-$\frac{1}{2}$时取得最小值；③存在满足条件的a，b，c，当x＞1时，二次函数值y小于0；④对任意满足am²+bm+c＜0的实数m，都有a（m+3）²+b（m+3）+c＞0；⑤4a-2|b|+c＞0；其中正确的命题序号是①④⑤．

Answer 1

分析 ①根据a＞b＞c，a+b+c=0，通过正、负来判断；
②根据对称轴列式得：a=b，与已知的a＞b＞c矛盾；
③由图象一定经过（1，0），且开口向上，得当x＞1时，y＞0；
④根据数形结合，利用抛物线与x轴的交点及与一元二次不等式的关系得出结论；
⑤分两种情况讨论，将x=2和x=-2代入可得结论．

解答 解：①∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a、b、c中有正、负，
∵c为最小，a为最大，
∴c＜0，a＞0，
∴ac＜0，
选项①正确；
②∵a+b+c=0，
∴图象一定经过（1，0），
对于二次函数，当x=-$\frac{b}{2a}$时，有最小值，
即-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a=b，
∵a＞b＞c，
所以选项②不正确；
③∵图象一定经过（1，0），且开口向上，
∴当x＞1时，y＞0，
所以③不正确；
④如图所示，设抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（x₁，0），
分两种情况：
i）当a＞0，b＞0，c＜0时，抛物线对称轴在y轴的左侧，如图1，
∵a+b+c=0，
∴a+b=-c，
当x=-1时，y=a-b+c=a-b-a-b=-2b＜0，
当x=-2时，y=4a-2b+c=4a-2b-a-b=3a-3b=3（a-b），
∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴y＞0，
∵A（1，0），
∴AB＜3，
∴当满足am²+bm+c＜0时，即当x=m时，y＜0，
此时-2＜m＜1，
∴m+3＞1，
则当x=m+3时，y＞0，
∴a（m+3）²+b（m+3）+c＞0，
ii）当a＞0，b＜0，c＜0，抛物线对称轴在y轴的右侧，如图2，
∴a=-b-c，
当x=-1时，y=a-b+c=-b-c-b+c=-2b＞0，
∴AB＜2，
∴当am²+bm+c＜0时，即当x=m时，y＜0，
此时-1＜m＜1，
∴m+3＞1，
则当x=m+3时，y＞0，
∴a（m+3）²+b（m+3）+c＞0，
所以④正确；
⑤当b＞0时，x=-2时，y=4a-2b+c，
由④分析得：x＞-2，
∴x=-2时，y＞0，
∴正确；
当b＞0时，4a-2|b|+c=4a+2b+c，
即x=2时，y=4a+2b+c＞0，
所以⑤正确；
所以正确的命题序号是：①④⑤；
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查了二次函数图象和系数的关系，利用数形结合的思想，本题有难度，同时与一元二次方程根与系数的关系相结合，熟练掌握二次函数的性质．