Question

3．如图，A、B是⊙O上的两点，过O作OB的垂线交AB于C，交⊙O于E，交⊙O的切线AD于D．
（1）求证：DA=DC；
（2）当OA=5，OC=1时，求DA及DE的长．

Answer 1

分析 （1）要证明DA=DC，只要证明∠ACD=∠CAD即可，根据题目中的条件可以得到∠ACD=∠CAD，结论得以证明；
（2）根据（1）中的结论和勾股定理可以求得DA及DE的长．

解答 （1）证明：∵OB⊥OC，OA⊥AD，
∴∠BOC=90°，∠OAD=90°，
∴∠BCO+∠OBC=∠OAC+∠CAD=90°，
∵OB=OA，
∴∠OBC=∠OAC，
∴∠BCO=∠CAD，
∵∠BCO=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴DA=DC；
（2）解：∵OA=5，OC=1，∠OAD=90°，DA=DC，
∴设DA=x，
则5²+x²=（x+1）²，
解得，x=12，
∴DA=12，OD=13，
∵OE=OA，
∴OE=5，
∴DE=OD-OC=13-5=8．

点评 本题考查切线的性质，解答此类题目的关键是明确题目中所要证明的结论和所要解答的问题，然后根据数形结合和勾股定理的相关知识解答．