Question

8．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过C作⊙O的切线交AB的延长线于E，
AD⊥CE于D，连结AC．
（1）求证：AC平分∠BAD．
（2）若tan∠CAD=$\frac{3}{4}$，AD=8，求⊙O直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由DE为圆O的切线，得到OC垂直于CD，再由AD垂直于DE，得到AD与OC平行，得到一对内错角相等，根据OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，根据勾股定理求出AD的长，由三角形ACD与三角形ABC相似，得到对应边成比例，即可求出AB的长．

解答 证明：（1）连结OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴AD∥OC，
∵OA=OC，
∴∠DAC=∠ACO=∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）解：∵AD⊥CE，tan∠CAD=$\frac{3}{4}$，AD=8，
∴CD=6，
∴AC=10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠D，
∵∠DAC=∠CAO，
∴△ACD∽△ABC，
∴AB：AC=AC：AD，
∴AB=$\frac{25}{2}$．

点评 此题考查了切线的性质，以及解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．