Question

如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．
求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）AB•DC+AD•BC=AC•BD．

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理得∠ABD=∠ACD，而∠BAE=∠DAC，即可得到△ABE∽△ACD；
（2）连接BC，由△ABE∽△ACD得，∠1=∠ADC，而∠ADC+∠ABC=180°，∠1+∠2=180°，所以∠ABC=∠2，而∠ACB=∠ADE，于是有△ABC∽△AED，得到AC•DE=AD•BC，又因为DE=BD-BE，则AC•（BD-BE）=AD•BC，即AC•BD=AC•BE+AD•BC；又由△ABE∽△ACD，得到AB•DC=AC•BE，即可得到AB•DC+AD•BC=AC•BD．

解答：解：（1）∵∠ABD=∠ACD，
而∠BAE=∠DAC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）连接BC，如图，
∵△ABE∽△ACD，
∴∠1=∠ADC，
而∠ADC+∠ABC=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠ABC=∠2，
又∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED，
∴AC•DE=AD•BC，
而DE=BD-BE，
∴AC•（BD-BE）=AD•BC，即AC•BD=AC•BE+AD•BC；
又由△ABE∽△ACD，
∴AB•DC=AC•BE，
∴AB•DC+AD•BC=AC•BD．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆内接四边形的性质和三角形相似的判定与性质．