Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC=60°时，DE与DF有何数量关系？请说明理由；
（3）当AC=5，BC=6时，求AE和DF的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由在△ABC中，AB=AC，易证得OD∥AC，又由过点D作EF⊥AC于点E，即可得OD⊥EF，证得EF是⊙O的切线；
（2）由∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形，然后由三线合一的性质，求得∠CAD=∠BAD=30°，易得∠BAD=∠F，即可证得AD=DF，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得DF=AD=2DE；
（3）首先连接AD，由直角三角形的性质，可求得DE的长，然后再由勾股定理，求得AE的长，易证得△ODF∽△AEF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；

（2）DF=2DE．
理由：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴CD=BD，∠CAD=∠BAD=30°，
∵EF⊥AC，
∴∠F=30°，
∴∠BAD=∠F，
∴AD=DF，
在Rt△AED中，∠CAD=30°，
∴AD=2DE，
即DF=2DE．

（3）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
又S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•ED=$\frac{1}{2}$AD•CD，
即$\frac{1}{2}$×5×ED=$\frac{1}{2}$×4×3，
∴ED=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{5}$；
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{DF}{EF}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{16}{5}}$=$\frac{DF}{DF+\frac{12}{5}}$，
解得：DF=$\frac{60}{7}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．