Question

如图，⊙O₁、⊙O₂相交于点A、B，现给出4个命题：
（1）若AC是⊙O₂的切线且交⊙O₁于点C，AD是⊙O₁的切线且交⊙O₂于点D，则AB²=BC•BD；
（2）连接AB、O₁O₂，若O₁A=15cm，O₂A=20cm，AB=24cm，则O₁O₂=25cm；
（3）若CA是⊙O₁的直径，DA是⊙O₂的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上；
（4）若过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点D，直线DB交⊙O₁于点C，直线CA交⊙O₂于点E，连接DE，则DE²=DB•DC．
则正确命题的序号是

 

．（在横线上填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理可以证明：∠BAD=∠C，∠BAC=∠D，则△ABD∽△CBA，从而证明结论；
（2）根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，再结合勾股定理，即可计算；
（3）根据直径所对的圆周角是直角，则∠ABC=90°，∠ABD≠90°，则∠CBD≠180°；
（4）根据切割线定理，得到DA²=DB•DC，所以只需证明DA=DE，即∠DAE=∠AED．
连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论，以及三角形的外角的性质，可以证明．

解答：解：（1）∵AC是⊙O₂的切线且交⊙O₁于点C，AD是⊙O₁的切线且交⊙O₂于点D，
∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D，
∴△ABD∽△CBA，
∴

AB

BC

=

BD

AB

，
∴AB²=BC•BD；

（2）∵O₁O₂垂直平分AB，
∴AC=BC=12，
根据勾股定理，得：
O₁C=9，O₂C=15，
∴O₁O₂=24；

（3）∵CA是⊙O₁的直径，DA是⊙O₂的一条非直径的弦，
∴∠ABC=90°，∠ABD≠90°，
∴∠CBD≠180°，
∴C、B、D三点不在同一条直线上；

（4）连接AB，
根据切割线定理，得DA²=DB•DC；
∵AD切⊙O₁于A，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠DAE=∠C+∠ADC，∠ABC=∠BAD+∠ADC，
∴∠DAE=∠ABC；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠E，
∴∠DAE=∠E，
∴DE=AD，
∴DE²=DB•DC．
故正确的有（1）（2）（3）（4）．

点评：连接公共弦是相交两圆常见的辅助线之一．综合运用切割线定理、弦切角定理、圆周角定理的推论．掌握相似三角形的性质和判定．