Question

9．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac-b²＜8a ④$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是①③④⑤．

Answer 1

分析 ①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而可得出abc＞0，结论①正确；②由抛物线的对称轴及点A的坐标，可得出抛物线与x轴的另一交点坐标，结合抛物线的开口可得出当x=2时，y=4a+2b+c＜0，结论②错误；③由a＞0、b＜0、c＜0，可得出4ac-b²＜0＜8a，结论③正确；④由当x=-1时y=a-b+c=0，结合b=-2a可得出3a=-c，再根据-2＜c＜-1，即可求出$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$，结论④正确；⑤由a-b+c=0、a＞0，可得出-b+c＜0，即b＞c，结论⑤正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间，
∴a＞0，-$\frac{b}{2a}$=1，-2＜c＜-1，
∴b＜0，abc＞0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∴当x=2时，y=4a+2b+c＜0，结论②错误；
③∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴4ac＜0，b²＜0，
∴4ac-b²＜0＜8a，结论③正确；
④当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-b=-c．
∵b=-2a，
∴3a=-c．
又∵-2＜c＜-1，
∴$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$，结论④正确；
⑤∵当x=-1时，y=a-b+c=0，a＞0，
∴-b+c＜0，
∴b＞c，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象结合二次函数图象与系数的关系，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．