Question

已知抛物线y=ax²+bx经过点A（-3，-3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．

Answer 1

分析：（1）由图可以看出A点为抛物线的顶点，且开口向上，所以此点即为此函数的最小值；
（2）点p是抛物线与x轴的一个交点，而此时另一个交点是0，那么P与O是关于抛物线对称轴的两个对称点，知道了对称点的坐标，就很容易求出t的值；
（3）a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下，求出a的值就知道其开口方向．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为-3，
∵P点和O点对称，
∴t=-6；

（2）分别将（-4，0）和（-3，-3）代入y=ax²+bx，得：

16a-4b=0 9a-3b=-3

，
解得，

a=1 b=4

∴抛物线开口方向向上；

（3）将A（-3，-3）和点P（t，0）代入y=ax²+bx，

9a-3b=-3① at2+bt=0②

，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at²+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=-

1

t+3

．
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∴-

1

t+3

＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞-3．
故t的值可以是-1（答案不唯一）．
（注：写出t＞-3且t≠0或其中任意一个数均给分）

点评：此题主要考查了抛物线的对称性及开口方向的问题，对于二次函数的图象和性质要很熟悉．