Question

如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.

（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；
（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

试题分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．
（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．
（3）首先根据B、C、M的坐标，求出BC²、BM²、CM²的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，进而可确定抛物线的解析式．
（1）
抛物线顶点的坐标为（1，m）
抛物线与轴交于两点，
当时，

解得
两点的坐标为（）、（）；
（2）当时，，
点的坐标为.
5分
过点作轴于点，则



=
=
=3m

（3）存在使为直角三角形的抛物线.
过点作于点，则为，


在中，
在中，
①如果是，且那么
即
解得，

存在抛物线使得是；
②如果是，且那么
即
解得，

存在抛物线，使得是；
③如果是，且，那么
即
整理得此方程无解.
以为直角的直角三角形不存在.
综上所述，存在抛物线和
使得是.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．