Question

【题目】如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，其半径为1，P为弧AB上的动点(P点不与A、B重合)，连接AP，BP，CP.

(1)求证：PA+PB＝PC.

(2)求四边形APBC面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）在PC上截取PD=AP，利用圆周角定理得到∠APC=60°，则△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AD=AP=PD，∠ADP=60°，进而推出∠ADC=∠APB，即可证明△APB≌△ADC，利用对应边相等即可得证；

（2）过点P作PE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，利用面积公式可得S四边形APBC=AB(PE+CF)，易知PC为⊙O的直径时，四边形APBC的面积最大，求出三角形ABC的边长即可求面积.

解：在PC上截取PD=AP，如图1，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴∠APC=∠ABC=60°，

又∵PD=AP

∴△APD是等边三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=∠APC+∠BAC =120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC(AAS)，

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴PC=PD+DC=PA+PB；

(2)当点P为弧AB的中点时，四边形APBC的面积最大.

理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E.

过点C作CF⊥AB，垂足为F.

∵S△APB=ABPE，S△ABC=ABCF，

∴S四边形APBC=AB(PE+CF)，

当点P为弧AB的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，

∴此时四边形APBC的面积最大.

如图所示，过O作OM⊥BC，连接OB，OC，

∵⊙O为等边△ABC的外接圆，

∴∠BOC=120°，

由垂径定理可知∠BOM=60°，BM=MC=BC，

∴

∴

∴其内接正三角形的边长AB=，

∴S四边形APBC=×2×.