Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：AD²=AC•DC．

Answer 1

考点：作图—基本作图,黄金分割

专题：

分析：（1）利用角平分线的作法得出BD即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出△BCD∽△ABC，进而利用等腰三角形的性质得出BC=AD求出即可．

解答：（1）解：如图所示：D点即为所求；

（2）证明：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠C=72°，∠A=36°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD，BD=AD，
∴BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A=36°，
∴△BCD∽△ABC，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∴AD²=AC•DC．

点评：此题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质，得出△BCD∽△ABC是解题关键．