Question

18．已知点A、B分别在反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0），y=-$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，则∠A为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 75°

Answer 1

分析 过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠A的值，即可求出结果．

解答 解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0），y=-$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$，S_△OBD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：3，即OB：OA=$\sqrt{3}$：1，
则在Rt△AOB中，tanA=$\frac{BO}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．