Question

点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）如图1，当k=1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；
说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写三步）；
②在完成①之后，可以自己添加条件（添加的条件限定为∠ABC为特殊角），在图2中补全图形，完成证明（选择添加条件比原题少得3分）．
（2）如图3，若∠ABC=90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM，进而得出△AEB≌△MEF，即可得出答案；也可以选择添加条件∠ABC=90°，得出△MAE≌△ABE，进而得出答案；
（2）首先过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N，证明△MEF∽△NEB，得出

AN

EN

=

EF

EB

，即可得出tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，即EF=

1

k

EB．

解答：解：（1）EF=EB．
证明：如图1，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM． 
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB． 
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB． 
∴∠CAB=∠EMA． 
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB． 
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE． 
在△AEB和△MEF中，
∵

∠CAB=∠EMA ∠ABE=∠AFE EA=EM

∴△AEB≌△MEF（AAS）． 
∴EF=EB． 
探索思路：
如图1，∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB． 

添加条件：∠ABC=90°．
证明：如图2，在直线m上截取AM=AB，连接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE． 
∴EM=EB，∠AME=∠ABE． 
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA． 
∴EM=EF．
∴EF=EB． 

（2）EF=

1

k

EB．
证明：如图3，过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°． 
∴四边形MENA为矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB． 
∴△MEF∽△NEB． 
∴

ME

EN

=

EF

EB

，
∴

AN

EN

=

EF

EB

．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，
∴

EB

EF

=k，
∴EF=

1

k

EB．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△MEF∽△NEB进而得出tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k是解题关键．